Ý tưởng của Kaluza và sự hoàn thiện của KleinÝ tưởng cho rằng vũ trụ chúng ta có hơn ba chiều không gian nghe có vẻ vừa ngớ ngẩn, vừa bí ẩn thậm chí là huyền bí nữa. Mặc dù, trên thực tế, nó rất cụ thể và hoàn toàn hợp lý. Để thấy điều đó, cách dễ nhất là ta hãy tạm ngừng xem xét toàn bộ vũ trụ và quay về quan sát một vật quen thuộc hơn, như đường ống dẫn nước dài và mảnh trong vườn nhà chúng ta, chẳng hạn.Hãy tưởng tượng một đường ống như vậy được bắc qua một khe núi rộng chừng vài trăm mét và ta quan sát nó từ khoảng cách chừng bốn trăm mét, như được minh họa trên hình 8.1 (a). Từ khoảng cách đó, bạn dễ dàng cảm nhận thấy chiều dài nằm ngang của đường ống, nhưng nếu như bạn không có con mắt tinh tường thì khó mà nhận thấy bề dày của nó. Từ điểm quan sát xa như vậy, bạn sẽ nghĩ rằng, nếu có một con kiến buộc phải sống trên đường ống đó, thì nó chỉ có thể đi lại theo một chiều: đó là chiều nằm ngang dọc theo chiều dài của ống. Nếu như có ai đó hỏi bạn về vị trí của con kiến ở một thời điểm đã cho, thì bạn chỉ cần một số liệu, đó là khoảng cách từ con kiến đến đầu bên trái (hoặc đầu bên phải) của đường ống. Kết quả là, ở cách xa bốn trăm mét, đường ống dẫn nước nhìn như là một đối tượng một chiều.
Hình 8.1. (a). Đường ống dẫn nước nhìn từ xa giống như một đối tượng một chiều. (b). Khi được phóng đại lên, chiều thứ hai - có dạng một vòng tròn và được cuộn lại vòng quanh ống - sẽ trở nên nhìn thấy được.Thực tế, chúng ta biết rằng, ống nước có một bề dày. Bạn khó có thể nhận ra điều đó ở khoảng cách bốn trăm mét, nhưng bằng cách dùng một ống nhòm, bạn có thể thu ảnh của đường ống dần lại và có thể quan sát trực tiếp được chu vi của nó, như ta thấy trên hình 8.1 (b). Từ hình phóng đại đó, bạn thấy rằng con kiến nhỏ sống trên đường ống thực sự có thể đi lại theo hai chiều độc lập nhau: dọc theo chiều trái - phải căng theo chiều dài của ống dây và dọc theo "chiều thuận hoặc ngược chiều kim đồng hồ" xung quanh chu vi của ống. Bây giờ thì bạn thấy rằng, để chỉ định vị trí của con kiến ở một thời điểm đã cho, bạn thực sự phải cho hai số liệu: con kiến ở đâu dọc theo chiều dài của ống và nó ở đâu dọc theo chu vi của ống. Điều này phản ánh một thực tế là, bề mặt của đường ống dẫn nước là hai chiều [1].Tuy nhiên, có một sự khác biệt rõ rệt giữa hai chiều đó. Hướng dọc theo đường ống là dài, tức là có quảng tính lớn và dễ dàng nhận thấy. Trong khi đó hướng vòng quanh bề dày của ống thì ngắn, "bị cuộn lại" và khó nhìn thấy. Để nhận thức được chiều cuộn tròn đó, ta phải khảo sát đường ống với độ chính xác lớn hơn nhiều.Ví dụ này đã nhấn mạnh một đặc điểm tinh tế và quan trọng của các chiều không gian: chúng thuộc hai loại khác nhau. Chúng là lớn, có quảng tính rộng và do đó thấy được trực tiếp hoặc chúng là nhỏ, bị cuộn lại và do đó khó phát hiện hơn nhiều. Tất nhiên, trong ví dụ này, chúng ta không đến nỗi phải mất nhiều công sức mới phát hiện được chiều "bị cuộn" vòng quanh chu vi của đường ống. Đơn giản là bạn chỉ cần một chiếc ống nhòm. Tuy nhiên nếu như bạn có một đường ống cực nhỏ như sợi tóc hoặc một ống mao dẫn, chẳng hạn, thì phát hiện ra chiều bị cuộn lại chắc sẽ khó khăn hơn.Trong bài báo gửi cho Einstein vào năm 1919, Kaluza đã đưa ra một ý tưởng lạ lùng. Ông cho rằng cấu trúc không gian của vũ trụ không phải chỉ có ba chiều quen thuộc mà có thể có số chiều nhiều hơn. Sở dĩ Kaluza đưa ra luận điểm có tính triệt để như vậy, như chúng ta sẽ thảo luận một cách ngắn gọn dưới đây, là do ông đã phát hiện ra rằng, ý tưởng này đã mang lại một khuôn khổ thanh nhã và đầy quyến rũ để thống nhất thuyết tương đối rộng của Einstein với lý thuyết điện từ của Maxwell thành một lý thuyết duy nhất. Nhưng trước hết một câu hỏi được đặt ra là, làm thế nào ý tưởng này có thể tương thích với một thực tế mười mươi là chúng ta chỉ nhìn thấy có ba chiều?Câu trả lời ngầm chứa trong công trình của Kaluza, sau đó được làm rõ và hoàn thiện thêm bởi nhà toán học người Thụy Điển là Oskar Klein và năm 1926, đó là cấu trúc không gian của vũ trụ chúng ta đồng thời chứa cả những chiều có quảng tính rộng lẫn những chiều bị cuộn lại. Tức là, giống như quy mô theo phương ngang của đường ống nước, vũ trụ chúng ta cũng có những chiều lớn, kéo dài và dễ dàng nhìn thấy, đó là ba chiều không gian theo kinh nghiệm sống hàng ngày của chúng ta. Nhưng giống như chu vi hình tròn của đường ống, vũ trụ còn có những chiều không gian phụ cuộn chặt vào một không gian nhỏ xíu, nhỏ tới mức mà những thiết bị thí nghiệm tinh xảo nhất của chúng ta hiện nay cũng không phát hiện được.Để có một hình ảnh rõ ràng hơn về ý tưởng đặc sắc này, ta sẽ trở lại ví dụ về đường ống dẫn nước một lần nữa. Hãy hình dung đường ống được vẽ những vòng tròn màu đen sát nhau dọc theo chu vi của nó. Cũng như trước, nếu đứng từ xa, đường ống nhìn vẫn giống như một đường thẳng mảnh một chiều. Nhưng nếu thu ảnh của đường ống lại gần nhờ một ống nhòm, bạn có thể phát hiện ra chiều bị cuộn lại, và điều này nhìn còn rõ hơn sau khi bạn vẽ các vòng tròn màu đen, như được minh họa trên hình 8.2. 
Hình 8.2. Bề mặt của ống dẫn nước là hai chiều: một chiều (theo phương ngang) được chỉ bằng mũi tên thẳng là dài và có quảng tính rộng; một chiều khác (theo chu vi tròn của nó) được chỉ bằng mũi tên uốn tròn là ngắn và cuộn lại.Hình này nhấn mạnh rằng bề mặt của đường ống là hai chiều gồm một chiều lớn có quảng tính rộng và một chiều nhỏ cuộn tròn. Kaluza và Klein cho rằng cấu trúc không gian của vũ trụ chúng ta cũng tương tự như vậy, nhưng nó có ba chiều không gian lớn, có quảng tính rộng và một chiều nhỏ cuộn tròn, nghĩa là cả thảy có bốn chiều không gian. Thật khó mà có thể vẽ một cái gì đó có nhiều chiều như vậy, do đó để trực quan, ta đành phải chấp nhận dùng hình minh họa chứa hai chiều lớn và một chiều nhỏ cuộn tròn. Chúng ta minh họa điều này trên hình 8.3, trong đó ta đã phóng đại cấu trục của không gian rất giống như khi ta thu gần ảnh của ống dẫn nước.
Hình 8.3. Giống như hình 5.1, mỗi một mức tiếp sau biểu diễn hình phóng đại lớn hơn của cấu trúc không gian ở mức trước. Vũ trụ của chúng ta có thể có các chiều phụ, như được thấy ở mức phóng đại thứ tư, nếu như chúng được cuộn lại trong một không gian nhỏ tới mức cho tới nay chúng ta vẫn chưa phát hiện được.Mức thấp nhất trên hình cho thấy cấu trúc biểu kiến của không gian ở những thang khoảng cách quen thuộc, như thang mét chẳng hạn, tức là thế giới bình thường xung quanh chúng ta. Các khoảng cách này được biểu diễn bởi tập hợp lớn nhất các đường kẻ ô. Trong những hình ảnh tiếp sau, chúng ta thu gần ảnh của cấu trúc không gian, bằng cách tập trung quan sát những vùng không gian còn nhỏ hơn nữa mà chúng ta đã liên tiếp phóng đại để nhìn rõ hơn. Thoạt đầu, khi chúng ta khảo sát cấu trúc không gian ở những thang khoảng cách ngắn hơn, chưa có gì nhiều xảy ra; nó vẫn giữ nguyên dạng cơ bản như ở các thang khoảng cách lớn, như ta thấy ở ba mức đầu tiên của hình phóng đại. Tuy nhiên, khi chúng ta tiếp tục cuộc hành trình tới khảo sát những thang vi mô nhất của không gian - mức phóng đại thứ tư trên hình 8.3 - thì một chiều mới, chiều cuộn tròn, mới hiện ra, nhìn rất giống như những vòng sợi len tròn xếp chặt tạo nên lớp xốp trên bề mặt một tấm thảm. Kaluza và Klein cho rằng chiều cuộn tròn phụ này tồn tại ở mọi điểm trong các chiều có quảng tính rộng, hệt như chu vi tròn của ống dẫn nước tồn tại ở mọi điểm dọc theo chiều dài của nó. (Để dễ nhìn, trên hình ta chỉ vẽ minh họa chiều cuộn tròn tại những điểm cách đều nhau của các chiều lớn). Hình 8.4 là một mặt phẳng gần với cấu trúc không gian theo Kaluza và Klein.
Hình 8.4. Những đường kẻ ô biểu diễn các chiều lớn quen thuộc trong đời sống hàng ngày của chúng ta, trong khi đó các vòng tròn biểu diễn chiều mới, chiều nhỏ và bị cuộn tròn lại. Giống như những vòng sợi len xếp chặt tạo nên lớp xốp của một tấm thảm, những vòng tròn này tồn tại ở mỗi điểm trong các chiều lớn quen thuộc, nhưng để dễ nhìn ta chỉ vẽ chúng tại giao điểm của các đường kẻ ô.Mặc dù sự tương tự với đường ống dẫn nước khá là rõ nét, nhưng có một số điểm khác biệt quan trọng. Vũ trụ của chúng ta có ba chiều không gian lớn, có quảng tính rộng (trên hình chúng ta chỉ vẽ được hai) trong khi đó ống dẫn nước chỉ có một và quan trọng hơn, bây giờ chúng ta mô tả cấu trúc không gian của chính bản thân vũ trụ chứ không phải của một vật (như ống dẫn nước) tồn tại bên trong vũ trụ đó. Ý tưởng cơ bản thì vẫn như thế: giống như chu vi tròn của ống dẫn nước, nếu như chiều phụ bị cuộn lại, thì chiều tròn đó của vũ trụ là cực nhỏ và khó phát hiện hơn rất nhiều so với các chiều lớn có quảng tính rộng. Thực tế, kích thước của chiều phụ này nhỏ tới mức vượt ra ngoài khả năng phát hiện của những dụng cụ phóng đại mạnh nhất của chúng ta hiện nay. Và, điều quan trọng nhất, đó là chiều nhỏ cuộn tròn không đơn giản là một bướu tròn bên trong các chiều lớn quen thuộc mà đây thực sự là một chiều mới tồn tại ở mỗi điểm trong các chiều lớn quen thuộc hệt như các chiều phải - trái, trước - sau, lên - xuống tồn tại ở mỗi điểm vậy. Đó là một chiều mới và độc lập, trong đó con kiến, nếu nó đủ nhỏ, có thể chuyển động theo. Để xác định vị trí của con kiến vi mô đó, ta phải biết nó ở đâu trong ba chiều không gian lớn quen thuộc (được biểu diễn bởi lưới ô vuông) cũng như nó ở đâu trong chiều cuộn tròn. Nghĩa là chúng ta cần phải có bốn số liệu về không gian; còn nếu thêm cả chiều thời gian nữa thì chúng ta phải có cả thảy năm số liệu về không - thời gian, nhiều hơn một so với chúng ta thường quan niệm.Như vậy, chúng ta khá bất ngờ phát hiện ra rằng, mặc dù chúng ta chỉ cảm nhận được ba chiều không gian quen thuộc, nhưng những lý lẽ của Kaluza và Klein lại cho thấy rằng điều đó không hề loại trừ sự tồn tại của những chiều phụ cuộn tròn, miễn là chúng có kích thước cực nhỏ. Vũ trụ rất có thể còn có những chiều ẩn giấu mà mắt chúng ta không nhìn thấy được.Nhưng nói nhỏ như thế nào? Những thiết bị tân tiến nhất hiện nay có thể phát hiện được những cấu trúc nhỏ tới một phần tỷ tỷ mét. Và nếu như một chiều phụ cuộn tròn có kích thước nhỏ hơn khoảng cách bé xíu đó, thì chúng ta không thể phát hiện được. Năm 1926, Klein đã kết hợp ý tưởng ban đầu của Kaluza với một số ý tưởng của cơ học lượng tử mới ra đời. Những tính toán của ông chỉ ra rằng chiều phụ cuộn tròn cần phải nhỏ cỡ chiều dài Planck, nhỏ hơn rất nhiều so với khả năng của thực nghiệm. Từ đó, các nhà vật lý đã gọi khả năng có những chiều không gian phụ cực nhỏ là lý thuyết Kaluza - Klein [2].[1] Đây là một ý tưởng đơn giản, nhưng sự thiếu chính xác của ngôn ngữ thông thường đôi khi có thể dẫn tới hiểu nhầm. Hai nhận xét sau sẽ phần nào làm sáng tỏ thêm. Thứ nhất, ta đã giả thiết rằng con kiến buộc phải sống trên bề mặt của ống dẫn nước. Ngược lại, nếu con kiến có thể đào hang vào bên trong ống, tức là nếu nó có thể thâm nhập vào lớp nhựa ống, thì chúng ta cần tới 3 con số để xác định vị trí của nó, bởi vì chúng ta còn phải xác định cả độ sâu mà con kiến đã đào vào nữa. Nhưng nếu con kiến chỉ sống trên bề mặt ống nước thôi, thì vị trí của nó được xác định bằng hai con số. Điều này dẫn chúng ta tới nhận xét thứ hai. Ngay cả khi con kiến sống chỉ trên bề mặt ống nước, chúng ta vẫn có thể xác định vị trí của nó bằng ba con số: trái - phải, trước - sau và trên - dưới trong không gian ba chiều quen thuộc, nếu như chúng ta muốn chọn như vậy. Nhưng một khi chúng ta đã biết con kiến sống trên bề mặt ống dẫn nước, thì hai con số chúng ta nói trong chương 7 là dữ liệu tối thiểu để xác định một cách duy nhất vị trí của con kiến. Và chúng ta nói mặt ống nước là hai chiều chính là với ý nghĩa như vậy.[2] Điều khá ngạc nhiên là các nhà vật lý Savas Dimopoulos, Nima arkani-Hamed và Gia Dvali, dựa trên những phát hiện của Ignatios Antonnniadis và Joseph Lykken, đã chứng minh được rằng, ngay cả khi một chiều phụ cuộn lại có kích thước cỡ milimét, thì có cũng chưa thể phát hiện được bằng thực nghiệm. Lý do là ở chỗ, các máy gia tốc hạt thăm dò thế giới vi mô bằng cách dùng các lực mạnh, yếu và điện từ. Lực hấp dẫn thì quá nhỏ ở những năng lượng trong tầm của công nghệ hiện nay, nên nói chung không được tính đến. Nhưng Dimopoulos và các cộng sự của ông đã nhận thấy rằng nếu chiều phụ cuộn lại có tác động chủ yếu lên lực hấp dẫn (đây là điều hoàn toàn có thể trong lý thuyết dây) thì mọi thực nghiệm hiện có cũng vẫn có thể bỏ qua nó. Trong một tương lai gần, những thí nghiệm mới, có độ nhạy cao hơn về lực hấp dẫn sẽ tìm kiếm một chiều phụ cuộn lại "lớn" đó. Nếu kết quả là khẳng định, thì đó sẽ là một trong số những phát minh vĩ đại nhất của mọi thời đại.
Hình 8.1. (a). Đường ống dẫn nước nhìn từ xa giống như một đối tượng một chiều. (b). Khi được phóng đại lên, chiều thứ hai - có dạng một vòng tròn và được cuộn lại vòng quanh ống - sẽ trở nên nhìn thấy được.Thực tế, chúng ta biết rằng, ống nước có một bề dày. Bạn khó có thể nhận ra điều đó ở khoảng cách bốn trăm mét, nhưng bằng cách dùng một ống nhòm, bạn có thể thu ảnh của đường ống dần lại và có thể quan sát trực tiếp được chu vi của nó, như ta thấy trên hình 8.1 (b). Từ hình phóng đại đó, bạn thấy rằng con kiến nhỏ sống trên đường ống thực sự có thể đi lại theo hai chiều độc lập nhau: dọc theo chiều trái - phải căng theo chiều dài của ống dây và dọc theo "chiều thuận hoặc ngược chiều kim đồng hồ" xung quanh chu vi của ống. Bây giờ thì bạn thấy rằng, để chỉ định vị trí của con kiến ở một thời điểm đã cho, bạn thực sự phải cho hai số liệu: con kiến ở đâu dọc theo chiều dài của ống và nó ở đâu dọc theo chu vi của ống. Điều này phản ánh một thực tế là, bề mặt của đường ống dẫn nước là hai chiều [1].Tuy nhiên, có một sự khác biệt rõ rệt giữa hai chiều đó. Hướng dọc theo đường ống là dài, tức là có quảng tính lớn và dễ dàng nhận thấy. Trong khi đó hướng vòng quanh bề dày của ống thì ngắn, "bị cuộn lại" và khó nhìn thấy. Để nhận thức được chiều cuộn tròn đó, ta phải khảo sát đường ống với độ chính xác lớn hơn nhiều.Ví dụ này đã nhấn mạnh một đặc điểm tinh tế và quan trọng của các chiều không gian: chúng thuộc hai loại khác nhau. Chúng là lớn, có quảng tính rộng và do đó thấy được trực tiếp hoặc chúng là nhỏ, bị cuộn lại và do đó khó phát hiện hơn nhiều. Tất nhiên, trong ví dụ này, chúng ta không đến nỗi phải mất nhiều công sức mới phát hiện được chiều "bị cuộn" vòng quanh chu vi của đường ống. Đơn giản là bạn chỉ cần một chiếc ống nhòm. Tuy nhiên nếu như bạn có một đường ống cực nhỏ như sợi tóc hoặc một ống mao dẫn, chẳng hạn, thì phát hiện ra chiều bị cuộn lại chắc sẽ khó khăn hơn.Trong bài báo gửi cho Einstein vào năm 1919, Kaluza đã đưa ra một ý tưởng lạ lùng. Ông cho rằng cấu trúc không gian của vũ trụ không phải chỉ có ba chiều quen thuộc mà có thể có số chiều nhiều hơn. Sở dĩ Kaluza đưa ra luận điểm có tính triệt để như vậy, như chúng ta sẽ thảo luận một cách ngắn gọn dưới đây, là do ông đã phát hiện ra rằng, ý tưởng này đã mang lại một khuôn khổ thanh nhã và đầy quyến rũ để thống nhất thuyết tương đối rộng của Einstein với lý thuyết điện từ của Maxwell thành một lý thuyết duy nhất. Nhưng trước hết một câu hỏi được đặt ra là, làm thế nào ý tưởng này có thể tương thích với một thực tế mười mươi là chúng ta chỉ nhìn thấy có ba chiều?Câu trả lời ngầm chứa trong công trình của Kaluza, sau đó được làm rõ và hoàn thiện thêm bởi nhà toán học người Thụy Điển là Oskar Klein và năm 1926, đó là cấu trúc không gian của vũ trụ chúng ta đồng thời chứa cả những chiều có quảng tính rộng lẫn những chiều bị cuộn lại. Tức là, giống như quy mô theo phương ngang của đường ống nước, vũ trụ chúng ta cũng có những chiều lớn, kéo dài và dễ dàng nhìn thấy, đó là ba chiều không gian theo kinh nghiệm sống hàng ngày của chúng ta. Nhưng giống như chu vi hình tròn của đường ống, vũ trụ còn có những chiều không gian phụ cuộn chặt vào một không gian nhỏ xíu, nhỏ tới mức mà những thiết bị thí nghiệm tinh xảo nhất của chúng ta hiện nay cũng không phát hiện được.Để có một hình ảnh rõ ràng hơn về ý tưởng đặc sắc này, ta sẽ trở lại ví dụ về đường ống dẫn nước một lần nữa. Hãy hình dung đường ống được vẽ những vòng tròn màu đen sát nhau dọc theo chu vi của nó. Cũng như trước, nếu đứng từ xa, đường ống nhìn vẫn giống như một đường thẳng mảnh một chiều. Nhưng nếu thu ảnh của đường ống lại gần nhờ một ống nhòm, bạn có thể phát hiện ra chiều bị cuộn lại, và điều này nhìn còn rõ hơn sau khi bạn vẽ các vòng tròn màu đen, như được minh họa trên hình 8.2. Hình 8.2. Bề mặt của ống dẫn nước là hai chiều: một chiều (theo phương ngang) được chỉ bằng mũi tên thẳng là dài và có quảng tính rộng; một chiều khác (theo chu vi tròn của nó) được chỉ bằng mũi tên uốn tròn là ngắn và cuộn lại.Hình này nhấn mạnh rằng bề mặt của đường ống là hai chiều gồm một chiều lớn có quảng tính rộng và một chiều nhỏ cuộn tròn. Kaluza và Klein cho rằng cấu trúc không gian của vũ trụ chúng ta cũng tương tự như vậy, nhưng nó có ba chiều không gian lớn, có quảng tính rộng và một chiều nhỏ cuộn tròn, nghĩa là cả thảy có bốn chiều không gian. Thật khó mà có thể vẽ một cái gì đó có nhiều chiều như vậy, do đó để trực quan, ta đành phải chấp nhận dùng hình minh họa chứa hai chiều lớn và một chiều nhỏ cuộn tròn. Chúng ta minh họa điều này trên hình 8.3, trong đó ta đã phóng đại cấu trục của không gian rất giống như khi ta thu gần ảnh của ống dẫn nước.Hình 8.3. Giống như hình 5.1, mỗi một mức tiếp sau biểu diễn hình phóng đại lớn hơn của cấu trúc không gian ở mức trước. Vũ trụ của chúng ta có thể có các chiều phụ, như được thấy ở mức phóng đại thứ tư, nếu như chúng được cuộn lại trong một không gian nhỏ tới mức cho tới nay chúng ta vẫn chưa phát hiện được.Mức thấp nhất trên hình cho thấy cấu trúc biểu kiến của không gian ở những thang khoảng cách quen thuộc, như thang mét chẳng hạn, tức là thế giới bình thường xung quanh chúng ta. Các khoảng cách này được biểu diễn bởi tập hợp lớn nhất các đường kẻ ô. Trong những hình ảnh tiếp sau, chúng ta thu gần ảnh của cấu trúc không gian, bằng cách tập trung quan sát những vùng không gian còn nhỏ hơn nữa mà chúng ta đã liên tiếp phóng đại để nhìn rõ hơn. Thoạt đầu, khi chúng ta khảo sát cấu trúc không gian ở những thang khoảng cách ngắn hơn, chưa có gì nhiều xảy ra; nó vẫn giữ nguyên dạng cơ bản như ở các thang khoảng cách lớn, như ta thấy ở ba mức đầu tiên của hình phóng đại. Tuy nhiên, khi chúng ta tiếp tục cuộc hành trình tới khảo sát những thang vi mô nhất của không gian - mức phóng đại thứ tư trên hình 8.3 - thì một chiều mới, chiều cuộn tròn, mới hiện ra, nhìn rất giống như những vòng sợi len tròn xếp chặt tạo nên lớp xốp trên bề mặt một tấm thảm. Kaluza và Klein cho rằng chiều cuộn tròn phụ này tồn tại ở mọi điểm trong các chiều có quảng tính rộng, hệt như chu vi tròn của ống dẫn nước tồn tại ở mọi điểm dọc theo chiều dài của nó. (Để dễ nhìn, trên hình ta chỉ vẽ minh họa chiều cuộn tròn tại những điểm cách đều nhau của các chiều lớn). Hình 8.4 là một mặt phẳng gần với cấu trúc không gian theo Kaluza và Klein.Hình 8.4. Những đường kẻ ô biểu diễn các chiều lớn quen thuộc trong đời sống hàng ngày của chúng ta, trong khi đó các vòng tròn biểu diễn chiều mới, chiều nhỏ và bị cuộn tròn lại. Giống như những vòng sợi len xếp chặt tạo nên lớp xốp của một tấm thảm, những vòng tròn này tồn tại ở mỗi điểm trong các chiều lớn quen thuộc, nhưng để dễ nhìn ta chỉ vẽ chúng tại giao điểm của các đường kẻ ô.Mặc dù sự tương tự với đường ống dẫn nước khá là rõ nét, nhưng có một số điểm khác biệt quan trọng. Vũ trụ của chúng ta có ba chiều không gian lớn, có quảng tính rộng (trên hình chúng ta chỉ vẽ được hai) trong khi đó ống dẫn nước chỉ có một và quan trọng hơn, bây giờ chúng ta mô tả cấu trúc không gian của chính bản thân vũ trụ chứ không phải của một vật (như ống dẫn nước) tồn tại bên trong vũ trụ đó. Ý tưởng cơ bản thì vẫn như thế: giống như chu vi tròn của ống dẫn nước, nếu như chiều phụ bị cuộn lại, thì chiều tròn đó của vũ trụ là cực nhỏ và khó phát hiện hơn rất nhiều so với các chiều lớn có quảng tính rộng. Thực tế, kích thước của chiều phụ này nhỏ tới mức vượt ra ngoài khả năng phát hiện của những dụng cụ phóng đại mạnh nhất của chúng ta hiện nay. Và, điều quan trọng nhất, đó là chiều nhỏ cuộn tròn không đơn giản là một bướu tròn bên trong các chiều lớn quen thuộc mà đây thực sự là một chiều mới tồn tại ở mỗi điểm trong các chiều lớn quen thuộc hệt như các chiều phải - trái, trước - sau, lên - xuống tồn tại ở mỗi điểm vậy. Đó là một chiều mới và độc lập, trong đó con kiến, nếu nó đủ nhỏ, có thể chuyển động theo. Để xác định vị trí của con kiến vi mô đó, ta phải biết nó ở đâu trong ba chiều không gian lớn quen thuộc (được biểu diễn bởi lưới ô vuông) cũng như nó ở đâu trong chiều cuộn tròn. Nghĩa là chúng ta cần phải có bốn số liệu về không gian; còn nếu thêm cả chiều thời gian nữa thì chúng ta phải có cả thảy năm số liệu về không - thời gian, nhiều hơn một so với chúng ta thường quan niệm.Như vậy, chúng ta khá bất ngờ phát hiện ra rằng, mặc dù chúng ta chỉ cảm nhận được ba chiều không gian quen thuộc, nhưng những lý lẽ của Kaluza và Klein lại cho thấy rằng điều đó không hề loại trừ sự tồn tại của những chiều phụ cuộn tròn, miễn là chúng có kích thước cực nhỏ. Vũ trụ rất có thể còn có những chiều ẩn giấu mà mắt chúng ta không nhìn thấy được.Nhưng nói nhỏ như thế nào? Những thiết bị tân tiến nhất hiện nay có thể phát hiện được những cấu trúc nhỏ tới một phần tỷ tỷ mét. Và nếu như một chiều phụ cuộn tròn có kích thước nhỏ hơn khoảng cách bé xíu đó, thì chúng ta không thể phát hiện được. Năm 1926, Klein đã kết hợp ý tưởng ban đầu của Kaluza với một số ý tưởng của cơ học lượng tử mới ra đời. Những tính toán của ông chỉ ra rằng chiều phụ cuộn tròn cần phải nhỏ cỡ chiều dài Planck, nhỏ hơn rất nhiều so với khả năng của thực nghiệm. Từ đó, các nhà vật lý đã gọi khả năng có những chiều không gian phụ cực nhỏ là lý thuyết Kaluza - Klein [2].[1] Đây là một ý tưởng đơn giản, nhưng sự thiếu chính xác của ngôn ngữ thông thường đôi khi có thể dẫn tới hiểu nhầm. Hai nhận xét sau sẽ phần nào làm sáng tỏ thêm. Thứ nhất, ta đã giả thiết rằng con kiến buộc phải sống trên bề mặt của ống dẫn nước. Ngược lại, nếu con kiến có thể đào hang vào bên trong ống, tức là nếu nó có thể thâm nhập vào lớp nhựa ống, thì chúng ta cần tới 3 con số để xác định vị trí của nó, bởi vì chúng ta còn phải xác định cả độ sâu mà con kiến đã đào vào nữa. Nhưng nếu con kiến chỉ sống trên bề mặt ống nước thôi, thì vị trí của nó được xác định bằng hai con số. Điều này dẫn chúng ta tới nhận xét thứ hai. Ngay cả khi con kiến sống chỉ trên bề mặt ống nước, chúng ta vẫn có thể xác định vị trí của nó bằng ba con số: trái - phải, trước - sau và trên - dưới trong không gian ba chiều quen thuộc, nếu như chúng ta muốn chọn như vậy. Nhưng một khi chúng ta đã biết con kiến sống trên bề mặt ống dẫn nước, thì hai con số chúng ta nói trong chương 7 là dữ liệu tối thiểu để xác định một cách duy nhất vị trí của con kiến. Và chúng ta nói mặt ống nước là hai chiều chính là với ý nghĩa như vậy.[2] Điều khá ngạc nhiên là các nhà vật lý Savas Dimopoulos, Nima arkani-Hamed và Gia Dvali, dựa trên những phát hiện của Ignatios Antonnniadis và Joseph Lykken, đã chứng minh được rằng, ngay cả khi một chiều phụ cuộn lại có kích thước cỡ milimét, thì có cũng chưa thể phát hiện được bằng thực nghiệm. Lý do là ở chỗ, các máy gia tốc hạt thăm dò thế giới vi mô bằng cách dùng các lực mạnh, yếu và điện từ. Lực hấp dẫn thì quá nhỏ ở những năng lượng trong tầm của công nghệ hiện nay, nên nói chung không được tính đến. Nhưng Dimopoulos và các cộng sự của ông đã nhận thấy rằng nếu chiều phụ cuộn lại có tác động chủ yếu lên lực hấp dẫn (đây là điều hoàn toàn có thể trong lý thuyết dây) thì mọi thực nghiệm hiện có cũng vẫn có thể bỏ qua nó. Trong một tương lai gần, những thí nghiệm mới, có độ nhạy cao hơn về lực hấp dẫn sẽ tìm kiếm một chiều phụ cuộn lại "lớn" đó. Nếu kết quả là khẳng định, thì đó sẽ là một trong số những phát minh vĩ đại nhất của mọi thời đại.