Phổ các trạng thái của dây °
Khả năng mới có các cấu hình dây quấn ngụ ý rằng năng lượng của dây có từ hai nguồn: năng lượng của chuyển động dao động và năng lượng quấn. Nhờ Kalza và Klein chúng ta biết rằng cả hai loại năng lượng đó đều phụ thuộc vào hình học của ống nước, tức là phụ thuộc vào bán kính của thành phần cuộn tròn lại của nó, nhưng đây là đặc thù phân biệt của các dây vì các hạt điểm không thể quấn quanh các chiều được. Do vậy, nhiệm vụ đầu tiên của chúng ta là phải xác định một cách chính xác sự phụ thuộc của năng lượng dao động và năng lượng quấn vào kích thước của chiều cuộn tròn. Để làm điều đó, sẽ rất thuận tiện, nếu chúng ta tách chuyển động dao động của dây thành hai loại: đều và bình thường. Dao động bình thường là loại dao động mà ta đã thảo luận nhiều lần ở các chương trước, chẳng hạn như những dao động được minh họa trên hình 6.2; còn dao động đều là loại dao động thậm chí còn đơn giản hơn: đó là chuyển động toàn thể của dây khi trượt từ vị trí này sang vị trí khác mà không thay đổi hình dạng của nó. Toàn bộ dao động của dây là tổ hợp của chuyển động trượt và chuyển động dao động, tức là tổ hợp của dao động đều và dao động bình thường, Nhưng để cho sự thảo luận ở đây được dễ dàng hơn, ta mới tách chúng thành hai loại như vậy. Thực tế, những dao động bình thường không đóng vai trò quan trọng lập luận của chúng ta ở đây, do đó chúng ta sẽ kể đến đóng góp của chúng khi đã trình bày xong xuôi phần cơ bản trong lập luận của chúng ta.
Có hai nhận xét quan trọng. Thứ nhất, những kích thích dao động đều của dây có năng lượng tỷ lệ nghịch với bán kính của chiều cuộn tròn. Đây là hệ quả trực tiếp của nguyên lý bất định trong cơ học lượng tử: bán kính càng nhỏ càng giới hạn chặt hơn đối với dây và do đó thông qua chứng sợ hãi bị nhốt chặt, lượng năng lượng trong chuyển động vùng vẫy của nó tăng lên. Như vậy, khi bán kính của chiều cuộn tròn giảm, thì năng lượng chuyển động của dây nhất thiết phải tăng - một dấu hiệu đặc trưng của tính tỷ lệ nghịch. Thứ hai, như ta đã thấy trong mục trước, năng lượng của mode quấn lại tỷ lệ thuận, chứ không phải nghịch với bán kính đó là bởi vì chiều dài cực tiểu của dây cuốn và do đó năng lượng cực tiểu của nó tỷ lệ thuận với bán kính. Hai nhận xét trên xác lập rằng, những giá trị lớn của bán kính sẽ kéo theo năng lượng quấn lớn và năng lượng dao động nhỏ, trong khi đó những giá trị nhỏ của bán kính kéo theo năng lượng quấn nhỏ và năng lượng dao động lớn.
Điều này dẫn chúng ta tới một sự kiện then chốt: đối với bất kỳ bán kính tròn lớn nào của vũ trụ ống nước đều có một bán kính nhỏ tương ứng, tại đó năng lượng quấn của dây trong vũ trụ trước (tức vũ trụ có bán kính lớn) đúng bằng với năng lượng dao động trong vũ trụ sau (tức vũ trụ có bán kính nhỏ) và năng lượng dao động trong vũ trụ trước đúng bằng năng lượng quấn của dây trong vũ trụ sau. Vì các tính chất vật lý chỉ phụ thuộc vào năng lượng toàn phần của cấu hình dây, chứ không phụ thuộc gì vào sự phân chia giữa năng lượng dao động và năng lượng quấn của dây như thế nào, nên đối với vũ trụ ống nước không có sự phân biệt nào về vật lý giữa những dạng khác nhau về hình học đó.
Điều này giải thích tại sao lý thuyết dây lại đưa ra một tuyên bố khá lạ lùng là: hoàn toàn không có sự phân biệt giữa một ống nước "béo" và một ống nước "gầy".Đây là cách tự vệ của vũ trụ, giống như bạn, một nhà đầu tư sừng sỏ, phải đối mặt với bài toán hóc búa sau. Hãy hình dung người ta nói với bạn rằng, thị giá chứng khoán của hai công ty, chẳng hạn công ty chế tạo máy tập chạy trong nhà và công ty bán máy co bóp cơ tim có quan hệ gắn bó với nhau. Vào lúc đóng cửa giao dịch ngày hôm nay, giá mỗi cổ phiếu của cả hai công ty là 1 đô la và một nguồn tin thông thạo tiết lộ với bạn rằng nếu cổ phiếu của công ty này tăng thì của công ty kia sẽ giảm và ngược lại. Hơn nữa, nguồn tin hoàn toàn đáng tin cậy của bạn (những thông tin của người đó vẫn nằm trong giới hạn của luật pháp) còn tiết lộ rằng, giá vào lúc đóng cửa của phiên giao dịch ngày mai chắc chắn sẽ là nghịch đảo của nhau. Cụ thể là, nếu vào lúc đóng cửa phiên giao dịch, giá một cổ phiếu của một công ty là 2 đô la thì giá một cổ phiếu của công ty kia là 1/2 đô la (50 cent), còn nếu giá một cổ phiếu của công ty này là 10 đô la thì một cổ phiếu của công ty kia là 1/10 đôla (10 cent) v.v. Nhưng có một điều mà nguồn tin của bạn không thể tiết lộ, đó là giá cổ phiếu nào tăng và cổ phiếu nào giảm. Bạn sẽ làm gì bây giờ?
Thế thì, bạn phải đầu tư ngay lập tức toàn bộ tiền bạc của bạn vào thị trường chứng khoán bằng cách chia đều cho cổ phần của hai công ty. Bằng cách tính cho một số ví dụ cụ thể, bạn dễ dàng thấy rằng bất kể điều gì xảy ra ngay hôm sau, sự đầu tư của bạn cũng không bao giờ bị thua lỗ cả. Trong trường hợp xấu nhất thì bạn vẫn giữ nguyên được vốn (nếu kết thúc phiên giao dịch ngày hôm sau giá một cổ phiếu của cả hai công ty đều là 1 đôla), Nhưng khi có bất cứ biến động nào về giá cổ phiếu (phù hợp với nguồn tin cung cấp) thì bạn đều chắc chắn có lãi. Ví dụ, nếu giá mỗi cổ phiếu của công ty chế tạo máy tập chạy là 4 đôla và của công ty bán máy co bóp tim là 1/4 đôla (25 cent) thì giá tổng cộng là 4,25 đôla (đối với mỗi cặp cổ phiếu), như vậy so với giá 2 đôla của ngày hôm trước, bạn đã lãi 2,25 đôla đối với mỗi cặp cổ phiếu. Hơn thế nữa, trên quan điểm lợi nhuận thuần túy, việc giá cổ phiếu công ty nào tăng, công ty nào giảm hoàn toàn không có giá trị gì đối với bạn. Nếu bạn chỉ quan tâm tới tổng số tiền thì hai trường hợp khác biệt đó là chẳng có gì phân biệt về mặt tài chính cả.
Tình hình trong lý thuyết dây cũng tương tự theo nghĩa, năng lượng trong các cấu hình của dây có hai nguồn: dao động và quấn, với sự đóng góp vào năng lượng toàn phần nói chung là khác nhau. Nhưng, một số các cặp tình huống hình học khác nhau - dẫn tới năng lượng quấn cao /năng lượng dao động thấp hoặc năng lượng quấn thấp /năng lượng dao động cao - là không thể phân biệt về mặt địa lý. Nhưng khác với ví dụ về đầu tư ra, người ta vẫn phân biệt được diễn tiến của hai loại cổ phiếu, còn trong trường hợp các dây, người ta tuyệt nhiên không có một phương tiện nào để phân biệt được cặp tình huống mà ta nói ở trên.
Thực tế, để làm cho sự tương tự với lý thuyết dây sát hơn nữa, ta hãy xem điều gì sẽ xảy ra nếu ta không chia đều số tiền đầu tư ban đầu cho cổ phiếu của hai công ty, mà mua chẳng hạn 1000 cổ phiếu của công ty chế tạo máy tập chạy và 3000 cổ phiếu của công ty bán máy co bóp cơ tim. Bây giờ tổng giá trị đầu tư của bạn phụ thuộc vào chuyện giá cổ phiếu của công ty nào tăng và công ty nào giảm. Ví dụ, giá cổ phiếu vào lúc đóng cửa phiên giao dịch là 10 đôla (máy tập chạy) và 10 cent (máy co bóp cơ tim) thì vốn đầu tư 4000 đôla ban đầu của bạn bây giờ trị giá 10.300 đôla. Còn nếu xảy ra tình huống ngược lại, tức giá cổ phiếu vào lúc đóng cửa phiên giao dịch là 10 cent (máy tập chạy) và 10 đôla (máy co bóp cơ tim) thì tổng trị giá số cổ phiếu của bạn bây giờ là 30.100 đôla, nghĩa là lớn hơn rất nhiều.
Tuy nhiên, quan hệ tỷ lệ nghịch của giá hai loại cổ phiếu đảm bảo cho ta điều sau đây. Nếu một người bạn của bạn đầu tư hoàn toàn "ngược" với bạn, tức là mua 3000 cổ phiếu của công ty chế tạo máy tập chạy và 1000 cổ phiếu của công ty bán máy co bóp cơ tim, thì tổng giá trị cổ phiếu của người đó sẽ là 10.300 đôla nếu giá cổ phiếu máy co bóp cơ tim cao và giá cổ phiếu máy tập chạy thấp (hệt như tổng giá trị cổ phiếu của bạn khi máy tập chạy cao/máy bóp cơ tim thấp) và có tổng giá trị bằng 30.100 đôla nếu giá cổ phiếu máy tập chạy cao và giá cổ phiếu của máy co bóp cơ tim thấp (lại hệt như tổng giá trị cổ phiếu của bạn trong tình huống ngược lại). Điều này có nghĩa là, trên quan điểm tổng giá trị cổ phiếu, việc hoán vị các cổ phiếu cao và thấp được bù trừ chính xác bởi việc hoán vị số cổ phiếu mà bạn mua của mỗi công ty.
Hãy ghi nhớ nhận xét cuối cùng đó trong đầu, và chúng ta quay trở lại với lý thuyết dây. Ta sẽ xét các năng lượng khả dĩ của dây trong một ví dụ cụ thể. Giả thử bán kính của chiều cuộn tròn trong vũ trụ ống nước lớn gấp 10 lần chiều dài Planck. Ta quy ước viết giả thiết đó là R=10. Một dây có thể quấn quanh chiều đó một, hai, ba …lần. Số lần dây quấn quanh chiều cuộn tròn gọi là số vòng của nó. Năng lượng ứng với sự quấn này, như đã nói, được xác định bởi chiều dài của dây cuốn, do đó tỷ lệ với tích số của bán kính và số vòng. Ngoài ra, đối với bất kỳ số vòng quấn nào, dây cũng còn thực hiện cả dao động nữa. Vì những dao động đều mà ta đang tập trung xem xét lại có năng lượng tỷ lệ nghịch với bán kính, nên những năng lượng này tỷ lệ với bội số nguyên của nghịch đảo bán kính (tức 1/R) mà trong trường hợp này bằng một phần mười chiều dài Planck. Chúng ta sẽ gọi bội số nguyên này là số dao động.
[1] Như bạn đã thấy tình huống này rất giống với trường hợp mà ta đã gặp trong ví dụ về đầu tư chứng khoán, trong đó số vòng quấn và số dao động tương tự như số cổ phiếu mà bạn đã mua của mỗi công ty, còn R và 1/R tương tự với giá của mỗi loại cổ phiếu. Dựa vào số cổ phần bạn mua của mỗi công ty và giá của mỗi loại cổ phiếu, bạn dễ dàng tính được tổng giá trị các cổ phiếu của bạn, tương tự như vậy bây giờ bạn cũng dễ dàng tính được năng lượng toàn phần của dây qua số dao động, số vòng quấn và bán kính R. Trong bảng 10.1 chúng tôi liệt kê một phần những năng lượng toàn phần đó đối với các cấu hình dây khác nhau trong vũ trụ ống nước với R = 10, trong đó mỗi cấu hình được đặc trưng bởi số vòng quấn và số dao động.
Một bảng liệt kê đầy đủ sẽ phải kéo dài vô hạn, vì số vòng quấn và số dao động có thể lấy các giá trị nguyên tùy ý, tuy nhiên, phần đại diện của nó trong bảng 10.1 cũng đã đủ cho sự thảo luận của chúng ta. Từ bảng 10.1 và những nhận xét ở trên chúng ta thấy rằng, ở đây chúng ta đang xét tình huống năng lượng quấn cao/năng lượng dao động thấp, trong đó năng lượng quấn là bội của 10 còn năng lượng dao động là bội của 1/10.
| Số dao động | Số vòng quấn | Năng lượng toàn phần |
| 1 | 1 | 1/10 + 10 = 10,1 |
| 1 | 2 | 1/10 + 20 = 20,1 |
| 1 | 3 | 1/10 + 30 = 30,1 |
| 1 | 4 | 1/10 + 40 = 40,1 |
| 2 | 1 | 2/10 + 10 = 10,2 |
| 2 | 2 | 2/10 + 20 = 20,2 |
| 2 | 3 | 2/10 + 30 = 30,2 |
| 2 | 4 | 2/10 + 40 = 40,2 |
| 3 | 1 | 3/10 + 10 = 10,3 |
| 3 | 2 | 3/10 + 20 = 20,3 |
| 3 | 3 | 3/10 + 30 = 303 |
| 3 | 4 | 3/10 + 40 = 40,3 |
| 4 | 1 | 4/10 + 10 = 10,4 |
| 4 | 2 | 4/10 + 20 = 20,4 |
| 4 | 3 | 4/10 + 30 = 30,4 |
| 4 | 4 | 4/10 + 40 = 40,4 |
Bảng 10.1. Một số cấu hình dao động và quấn của dây chuyển động trong vũ trụ trên hình 10.3 với bán kính R = 10. Năng lượng dao động là bội số của 1/10 và năng lượng quấn là bội của 10 cho năng lượng toàn phần được kê ở cột 3. Đơn vị năng lượng ở đây là năng lượng Planck. Ví dụ giá trị 10,1 ở cột cuối cùng có nghĩa là 10,1 lần năng lượng Planck.Bây giờ hãy hình dung rằng bán kính của chiều cuộn tròn bị co lại, ví dụ từ 10 xuống 9,2, xuống 7,1 rồi xuống tới 3,4; 2,2; 1,1; 0,7 và cứ như vậy xuống tới 0,1 (1/10) và đối với sự thảo luận của ta ở đây, đến đó là dừng lại. Trong dạng khác biệt về mặt hình học này của vũ trụ ống nước, ta có thể lập một bảng tương tự của năng lượng dây; năng lượng quấn bây giờ là bội số của 1/10 trong khi đó năng lượng dao động lại là bội số của 10. Kết quả được liệt kê trong bảng 10.2
| Số dao động | Số vòng quấn | Năng lượng toàn phần |
| 1 | 1 | 10 + 1/10 = 10,1 |
| 1 | 2 | 10 + 2/10 = 10,2 |
| 1 | 3 | 10 + 3/10 = 10,3 |
| 1 | 4 | 10 + 4/10 = 10,4 |
| 2 | 1 | 20 + 1/10 = 20,1 |
| 2 | 2 | 20 + 2/10 = 20,2 |
| 2 | 3 | 20 + 3/10 = 20,3 |
| 2 | 4 | 20 + 4/10 = 20,4 |
| 3 | 1 | 30 + 1/10 = 30,1 |
| 3 | 2 | 30 + 2/10 = 30,2 |
| 3 | 3 | 30 + 3/10 = 30,3 |
| 3 | 4 | 30 + 4/10 = 30,4 |
| 4 | 1 | 40 + 1/10 = 40,1 |
| 4 | 2 | 40 + 2/10 = 40,2 |
| 4 | 3 | 40 + 3/10 = 40,3 |
| 4 | 4 | 40 + 4/10 = 40,4 |
Bảng 10.2. Như bảng 10.1, chỉ có một điều khác là bán kính bây giờ bằng 1/10Thoạt nhìn, hai bảng có vẻ như hoàn toàn giống nhau. Nhưng xem xét kỹ lưỡng hơn, ta sẽ phát hiện ra rằng, mặc dù được sắp xếp theo thứ tự giống nhau, nhưng cột "năng lượng toàn phần" của cả hai bảng có các mục hoàn toàn như nhau. Để tìm một mục tương ứng trong bảng 10.2 đối với một mục cho trước trong bảng 10.1, ta chỉ cần hoán vị số vòng quấn và số dao động. Điều này có nghĩa là, những đóng góp của dao động và quấn có vai trò bổ sung cho nhau khi bán kính chiều cuộn tròn thay đổi từ 10 thành 1/10. Và như vậy, chừng nào ta chỉ quan tâm tới năng lượng toàn phần thì hoàn toàn không có sự phân biệt giữa các kích thước khác nhau đó của chiều cuộn tròn. Ta đã biết, sự hoán vị của giá máy tập chạy cao /máy co bóp cơ tim thấp và giá máy tập chạy thấp /giá máy co bóp cơ tim cao được bù trừ chính xác bởi sự hoán vị của số cổ phần mà bạn đã mua của mỗi công ty, tương tự như vậy, sự hoán vị giữa bán kính 10 và bán kính 1/10 cũng được bù trừ chính xác bởi sự hoán vị giữa số dao động và số vòng quấn. Hơn thế nữa, đơn giản ta chỉ tập trung xét bán kính ban đầu R = 10 và nghịch đảo của nó là 1/10, tuy nhiên kết luận mà ta vừa rút ra ở trên vẫn còn đúng đối với sự lựa chọn bán kính bất kỳ và nghịch đảo của nó.
Các bảng 10.1 và 10.2 còn chưa đầy đủ do hai nguyên nhân sau. Thứ nhất, chúng ta chỉ mới liệt kê một số ít trong số vô hạn khả năng đối với số vòng quấn và số dao động mà dây có thể có. Tất nhiên, điều này không đặt ra vấn đề gì miễn là bạn đủ kiên nhẫn lập các bảng dài bao nhiêu cũng được và bạn sẽ thấy rằng mối quan hệ giữa hai bảng đó vẫn không thay đổi. Thứ hai, ngoài năng lượng quấn ra, cho tới đây ta mới chỉ xét tới những đóng góp năng lượng từ chuyển động dao động đều của dây. Bây giờ chúng ta phải tính tới cả năng lượng dao động thường nữa, vì chúng cũng có đóng góp vào năng lượng toàn phần và xác định các tích lực mà dây mang.
Tuy nhiên, có một điểm quan trọng là, những nghiên cứu phát hiện ra rằng, các đóng góp đó không phụ thuộc vào bán kính của chiều bị cuộn lại. Như vậy, ngay cả nếu chúng ta có gộp thêm những đặc điểm chi tiết hơn vào các bảng 10.1 và 10.2, thì các bảng đó vẫn tương ứng chính xác với nhau như trước vì những đóng góp của các dao động bình thường ảnh hưởng hoàn toàn như nhau đối với cả hai bảng. Do đó, chúng ta có thể kết luận rằng, khối lượng và diện tích của các hạt trong vũ trụ ống nước với bán kính R và vũ trụ ống nước có bán kính 1/R là hoàn toàn đồng nhất với nhau. Và vì các khối lượng và tích cực này chi phối vật lý cơ bản, nên không có cách nào phân biệt được về mặt vật lý hai vũ trụ có dạng hình học khác nhau đó. Một thí nghiệm được thực hiện trong vũ trụ này sẽ có một thí nghiệm tương ứng trong vũ trụ kia và đều dẫn tới cùng một kết quả hoàn toàn như nhau.
(° ) Một số ý tưởng trong mục này và ít mục tiếp theo là khá tinh tế, vì vậy bạn đọc có thể bỏ qua trong lần đọc đầu tiên mà vẫn không ảnh hưởng gì tới logic trình bày.
[1] Trong trường hợp bạn còn băn khoăn không hiểu tại sao năng lượng dao động đều khả dĩ là bội số nguyên của 1/R, bạn chỉ cần xem lại phần thảo luận về cơ học lượng tử - đặc biệt là ví dụ về cái nhà kho – ở chương 4. ở đó chúng ta biết rằng,một trong những hệ quả của cơ học lượng tử, đó là năng lượng, cũng giống như tiền, gồm những bó gián đoạn, tức là bội số nguyên của những mệnh giá năng lượng khác nhau. Đối với trường hợp chuyển động dao động đều trong vũ trụ ống nước, mệnh giá năng lượng này đúng bằng 1/R, đúng như chúng ta đã chứng minh bằng cách dùng nguyên lý bất định.