n-giép quả là một nước kì lạ, bạn Số Không ạ! Hôm qua bọn mình vừa vào một quán cà phê hiện đại, hôm nay lại đến một công trường hoạt động cực nhanh, và chưa kịp định thần thì đã được thăm một tay pháp sư phương Đông thời cổ. Cậu hình dung phòng cân đo như thế nào? Chắc cậu nghĩ: một nhà kho rộng, một cái cân cục mịch. Đứng bên bàn cân là một người thợ cân lực lưỡng đeo tạp dề và đi găng tay vải bạt. Xung quanh, chất đống những bao, những hòm, những sọt... Nhưng ở đây lại khác hẳn. Người ta dẫn bọn mình vào một căn phòng tranh tối tranh sáng có mái vòm với những cột mảnh khảnh xây theo kiểu vặn thừng. Căn phòng cao chót vót đến nỗi chẳng nhìn thấy trần đâu nữa. Ngửa mặt nhìn lên cứ như bầu trời đêm, không trăng không sao vậy. Trong bóng tối nhá nhem thấy lấp lánh những vật gì loằng ngoằng như những cái móc lơ lửng trên cao. Có lẽ đấy là những chữ phương Đông thời cổ. Ở chính giữa gian phòng có một cái cân cổ lỗ rất to: hai đĩa cân nặng nề bằng đồng treo ở hai đầu một đòn cân bằng kim loại. Trên cân cũng thấy khắc la liệt những hình móc. Cái cân lơ lửng trên không như một con ác điểu khổng lồ. Khoảng giữa hai đĩa cân, lấp lánh một con mắt xanh lè, hệt như “con mắt thần” của máy thu thanh vô tuyến vậy. Chị chữ F thì thào nói: - Các bạn ngồi xuống đi. Bọn mình ngó quanh chẳng thấy cái ghế nào cả. Chỉ có mấy tấm thảm sặc sỡ trải trên sàn. Chị chữ F xoa xoa chân ngồi xệp xuống một tấm thảm. Bọn mình cũng làm theo. Bỗng nghe một tiếng cồng, rồi từ trong bóng tối thấy nhô ra một người mặc áo choàng màu đen điểm chấm vàng, trên đầu quấn khăn “tuyếc-ban” bằng lụa trông cao lênh khênh, râu bạc như cước. Chị chữ F thì thầm: - Cụ trưởng phòng cân đo đấy. Các bạn phải chăm chú học ông cụ. Ông già để tay lên ngực, nghiêng người chào bọn mình. Bọn mình cũng để tay trước ngực, nghiêng người đáp lễ. Ông cụ liền vung cây đũa. Trên mỗi đĩa cân xuất hiện ngay một Số Bảy. Cả hai đều mặc quần áo phát ánh sáng. Mình mải ngắm họ đến nỗi không để ý là ở chỗ con mắt thần đã bật sáng hai dấu gạch ngang. Chữ F lấy cùi tay khẽ hích mình: - Dấu đẳng thức đấy. Bảy bằng bảy, - chị ta nói nhỏ. - Cố nhiên là như thế! - Xê-va làu bàu. - Bảy bằng tám sao được! Nhưng ông cụ lại vung đũa. Trên đĩa cân bên phải, một Số Tám hiện lên thay cho Số Bảy vừa biến mất, đĩa cân lập tức trĩu xuống. Bọn mình liếc nhìn vào chỗ con mắt thần thì thấy hai cái gạch ngang của dấu bằng chụm đầu vào nhau ở phía bên trái, làm thành một góc nhọn. 7 < 8 Chị chữ F cắt nghĩa: - Dấu bất đẳng thức đấy. Nó nói lên rằng bảy nhỏ hơn tám. Bỗng Số Tám và Số Bảy đổi chỗ cho nhau. Bây giờ đĩa cân bên trái trĩu xuống. Các dấu gạch ngang ở con mắt thần động đậy rồi chụm đầu lại ở phía bên phải. 8 > 7 - Mình hiểu rồi, - Ô-lếch nói, - dấu này cho thấy tám lớn hơn bảy. Thành ra các dấu gạch chụm về bên nào thì bên ấy là số nhỏ, còn bên kia là số lớn. Xê-va lại làu bàu: - Trò trẻ con! Ông cụ chẳng thèm để ý đến lời nói hỗn hào ấy. Ông vung cây đũa, lập tức trên các đĩa xuất hiện những chữ thay cho số. Bên trái có a + b, bên phải có c. Giữa hai đĩa cân, bật sáng lên dấu bằng: a + b = c Hình như Xê-va đang bị quỉ ám hay sao ấy! Cái gì cậu ấy cũng không bằng lòng. Cậu ta sinh sự: - Tại sao lại thế? Ông cứ tưởng a + b bằng c hẳn? Chị chữ F liền trả lời: - Ông cụ không tưởng đâu, mà là yêu cầu phải như thế. Chắc hẳn có một bài toán nào đấy đòi hỏi vế bên trái nhất thiết phải bằng vế bên phải. - Nhưng biết đâu ông cụ vẫn nhầm thì sao? - Xê-và cãi bướng. - Một chữ có thể hiểu là bất kì số nào cũng được cơ mà! Tôi đề nghị cứ thay mỗi chữ bằng một số xem sao. Cậu ta đứng bật dậy và tiến lại gần cụ trưởng phòng. Thú thực là mình hoảng quá, chỉ sợ ông cụ cáu tiết biến luôn Xê-va thành một bất đẳng thức thì nguy. Nhưng ông cụ không tức giận tí nào. Trái lại, ông để tay lên ngực để tỏ ý tôn trọng ý kiến của Xê-va, và thế là trên đĩa cân bên trái xuất hiện Số Bốn thay cho chữ a, Số Năm thay cho chữ b, và trên đĩa cân bên phải xuất hiện Số Chín thay cho chữ c.

4 + 5 = 9 Nhưng Xê-va vẫn chưa chịu thua: - Không được, thưa cụ như thế không được! Đấy là cụ thay những số thích hợp đối với cụ thôi? Cụ để cháu làm xem nào! Cậu ta gọi những số khác. Ông cụ trưởng phòng cân đo chỉ mỉm cười và lại vung cây đũa. Đòn cân tròng trành và ở chỗ mắt thần bật sáng lên dấu bất đẳng thức. Bọn mình nhìn thấy:

6 + 7 < 20 - Mình đã bảo mà! - Xê-va hét toáng lên, - a cộng b có bằng c đâu. Đến đây, ông cụ trưởng phòng cân đo ít lời không nhịn được nữa. Ông cất giọng the thé bảo Xê-va: - Hỡi cậu bé ương gàn! Nếu cháu muốn trở thành người thông thái thì phải suy nghĩ kĩ rồi hãy nói. Quả thật. Mọi chữ có thể hiểu ngầm là số nào tùy ý. Nhưng đó chỉ là trường hợp các chữ chưa bị ràng buộc với nhau bằng dấu đẳng thức mà thôi. Trong đẳng thức a + b = c, ta chỉ có thể thay hai chữ bằng bất kì số nào tùy ý, chứ còn chữ thứ ba thì không thể thay số tùy ý được. Chữ thứ ba này có độ lớn nhất định, lệ thuộc vào hai số đã thay cho hai chữ kia. Xê-va suy nghĩ hồi lâu rồi mấp máy môi: - Cứ cho a bằng năm, c bằng mười hai đi. Trên cân hiện lên biểu thức

5 + b = 12 Ông già mỉm cười hỏi: - Bây giờ cháu hãy trả lời: liệu có thể thay b bằng bất kì số nào hay không? Nhưng Xê-va chưa kịp mở miệng thì trên đĩa cân đã bật sáng Số Bảy thay cho chữ b.

5 + 7 = 12 Xê-va gãi đầu gãi tai; - Vâng! Với đẳng thức thì không được. Nhưng trong một bất đẳng thức thì tha hồ thay, chẳng sao cả. Ông già lắc đầu ra vẻ trách móc: - Cháu lại nói mà không nghĩ rồi. Bất đẳng thức cũng có năm bảy đường bất đẳng thức chứ. Ông cụ lại vung cây đũa. Trên đĩa cân bên trái xuất hiện c + d, trên đĩa cân bên phải xuất hiện e, và giữa hai đĩa cân là dấu bất đẳng thức.

c+ d < e Đĩa cân bên phải trĩu xuống. Ông già nói: - Cháu gọi những số bất kì thay cho các chữ đi. Xê-va nêu ra ba số. Và trên đĩa cân bên trái bọn mình thấy hiện lên 4 + 8, còn trên đĩa cân bên phải là số 9. Đĩa cân bên trái trĩu xuống, dấu bất đẳng thức quay dấu nhọn về bên phải.

4 + 8 > 9 Xê-va mừng rỡ reo lên: - A ha! Vẫn còn dấu bất đẳng thức đấy nhé. - Đúng thế! - Ông già nói. - Nhưng bây giờ vế trái đã lớn hơn vế phải, chứ không phải nhỏ hơn như điều kiện của chúng ta lúc trước. Ô-lếch nói xen vào: - Thưa cụ, chắc hẳn cụ muốn nói sau khi ta thay 4 + 8 vào vế trái của bất đẳng thức thì ở vế phải của nó ta có thế đặt bất kì số nào cũng được miễn là thỏa mãn điều kiện số ấy phải lớn hơn mười hai. Có như thế, vế trái mới luôn luôn nhỏ hơn vế phải. - Chính thế, chính thế! - ông già âu yếm gật đầu, và gật mạnh đến nỗi tưởng chừng chòm râu bạc của cụ đến rụng mất! Rồi ông đưa mắt nhìn Xê-va. Anh chàng láu táu này đứng đực mặt ra, đầu tóc rối bù y như một chú chim sẻ sau một trận đánh nhau tơi bời. Ông già bảo Xê-va: - Ta thấy hình như cháu vẫn cứ muốn thay tất cả các chữ bằng những số bất kì. Cũng có trường hợp làm như thế được. Ta hãy thử một lần nữa nhé. Trên đĩa cân hiện lên đẳng thức

3a + 2b = 2a + 3b - b + a Nhưng Xê-va vội xua tay đây đẩy: - Thôi thôi, xin cụ cảm ơn cụ! Cháu chẳng làm nữa đâu. - Từ chối là hoài đấy, cháu ạ. Trong ví dụ này có thể thay a và b bằng bất kì số nào cũng được. Ông già thay a bằng Số Bốn và b bằng Số Ba:

3.4 + 2.3 = 2.4 + 3.3 - 3 + 4 Các số đó biến đi ngay tức khắc, nhường chỗ cho số 18 ở mỗi đĩa cân:

18 = 18 Xê-va bối rối chớp chớp mắt. Cậu ta lại lâm vào thế bí. Nhưng tại sao thế nhỉ? Ông già đã giải đáp nỗi thắc mắc đó: - Bởi vì đây là một đẳng thức đặc biệt. Người ta gọi nó là một đồng nhất thức. Dù thay các chữ bằng số nào cũng vẫn giữ được đẳng thức. Mình vội hỏi: - Nhưng làm sao phân biệt được đồng nhất thức với đẳng thức bình thường mà không cần thay chữ bằng số? - Muốn thế, phải biến đổi thế nào để hai vế của đẳng thức hoàn toàn đồng nhất với nhau. Các cháu xem đây! Trên các đĩa cân lại hiện ra đồng nhất thức lúc nãy.

3a + 2b = 2a + 3b - b + a Ông già chỉ tay vào đĩa cân bên phải rồi hô to: - Các số hạng đồng dạng, ước lược! 2a trong vế phải liền cộng với một a; 3b thì bớt đi một b. Và trên đĩa cân xuất hiện một biểu thức mới:

3a + 2b = 3a + 2b Chuyện đồng nhất thức thế là xong. Ông già lại vung cây đũa. Trên đũa bỗng xuất hiện một cái vòng sắt giống như loại vòng bọn mình vẫn dùng biểu diễn nghệ thuật mềm dẻo ấy. Suýt nữa mình buột miệng kêu lên: “ông cụ sắp sửa múa vòng đây!” Thế thì hay đáo để! Nhưng ông già không múa mà lại lấy một sợi dây đo bề rộng của vòng tròn ở chỗ rộng nhất. Ông cụ vừa làm vừa giảng giải: - Bề rộng này gọi là đường kính của vòng tròn. Thế mà cũng có người chưa biết đấy. Nói xong, ông già đặt đoạn dây dài bằng đường kính đó dọc theo cái vòng để đo xem chu vi dài bao nhiêu. Ông cụ vạch một nét đánh dấu rồi đặt đoạn dây theo chu vi liên tiếp lần thứ nhất, lần thứ hai, lần thứ ba mà vẫn chưa chạm tới cái vạch đã đánh dấu. Đặt thêm đoạn dây một lần nữa thì lại qua cái vạch nhiều. Trông áng chừng thì có thể chỉ cần thêm độ một phần năm đoạn dây nữa là đủ. Ông già cắt lấy một phần năm đoạn dây, nhưng lại hơi thừa. Có nghĩa là chiều dài của đường tròn nhỏ hơn ba một phần năm đường kính. Ông già bèn cắt đôi mẩu dây ấy ra, tức là được một đoạn bằng một phần mười đường kính. Nhưng lần này lại hơi hụt. Như vậy là chiều dài của đường tròn nhỏ hơn ba một phần năm đường kính nhưng lại lớn hơn ba một phần mười đường kính. Ông già cứ loay hoay hồi lâu với bài toán này, rồi cuối cùng mỉm cười nói: - Hỡi các bạn trẻ của ta! Vừa rồi là ta đùa cho vui đấy thôi. Thật ra ta đã biết từ lâu rằng bài toán này không thể có một lời giải chính xác. Chẳng qua ta chỉ muốn làm cho các bạn tự mình thấy rõ vấn đề chiều dài vòng tròn gấp mấy lần đường kính, điều đó chỉ có thể tính một cách gần đúng mà mà thôi. Dù cho ta tính con số đó đến một triệu số lẻ chăng nữa thì cũng vẫn chưa được một số hoàn toàn chính xác đâu. Ô-lếch bèn hỏi: - Như vậy đó là một số vô tỉ, phải không? - Dĩ nhiên rồi! - chị chữ F xác nhận. - Chúng ta có thể chỉ rõ nó nằm ở chỗ nào trên con đường một ray, nhưng không thể biểu diễn nó bằng một con số chính xác được. Ở An-giép người ta kí hiệu nó bằng chữ Hi Lạp π, đọc là Pi. Các bạn xem kìa. Trên đĩa cân bên trái xuất hiện một chữ hơi giống chữ - “U” lộn ngược, và trên đĩa cân bên phải hiện lên số 3,14. - Số Pi xấp xỉ bằng ba phẩy mười bốn.

Ông già giải thích và vung cây đũa. Đĩa cân có chữ Pi hơi trĩu xuống một tí, và trong con mắt thần xuất hiện hai dấu lượn sóng ≈. - Đây là dấu đẳng thức gần đúng, - chị chữ F thuyết minh. - Thật ra Pi hơi lớn hơn 3,14 một chút, cho nên đĩa cân bên trái hơi trĩu xuống. Lúc ấy lại nghe có tiếng cồng, và ông cụ trưởng phòng cân đo vụt biến mất. Chị F tuyên bố: - Ta nghỉ giải lao mười lăm phút! Cậu nghĩ thế nào hả Số Không, sao họ lại có thể cho mình nghỉ giải lao ít như thế nhỉ?

Ta-nhi-a