uối cùng bọn mình đã tạm biệt quán “Úm ba la”. Ông cửa hàng trưởng chỉ đường rất tỉ mỉ cho bọn mình ngày mai đến công trường. Bọn mình cảm ơn ông tiếp đãi tử tế và lại đi lang thang ngoài phố. Lúc này trời đã tối. Nhà nào nhà nấy đèn thắp sáng trưng. Các biển quảng cáo xanh đỏ nhấp nháy liên tiếp. Từ các khung cửa sổ hé mở, vọng ra tiếng âm nhạc. Người dân An-giép đang quây quần quanh các bàn tiệc ăn mừng ngày hội lớn của mình. Bất giác bọn mình thấy buồn man mác. Bọn mình nhớ nhà thế nào ấy nhưng bỗng nghe tiếng loa phát thanh ở gần đâu đây: “A-lô! A-lô! Chú ý! Chú ý! Năm phút nữa tại Cung các bài toán khó tin sẽ khai mạc cuộc thi đấu. Nam tước Muyn-hao-den[1] nổi tiếng toán thế giới được nhất trí bầu làm chủ tịch hội đồng chấm thi. Ai muốn dự thi, mau mau tới đó!” Chắc cậu cũng đoán được là bọn mình lại đi ngang qua Vườn hoa Khoa học và Nghỉ ngơi. Cứ tưởng như tự nhiên chân mình bước đến đó ấy. Thế là bọn mình tới Cung các bài toán khó tin. Khó khăn lắm mới tìm được chỗ ngồi. Hội đồng chấm thi bước lên bục. Người ta vỗ tay như sấm hoan hô Muyn-hao-den. Sắm vai ông là một chữ K. Nam tước khiêm tốn nghiêng mình và bắt đầu nói: - Kính thưa các vị! Cho phép tôi giải thích qui tắc cuộc thi này. Mỗi vị tham gia cuộc thi phải nêu ra một bài toán. Bài toán này thoạt nhìn thì phải thật đơn giản, đơn giản đến nỗi ai cũng tưởng có thể giải dễ dàng như giơ bàn tay. Đó là điều kiện thứ nhất. Còn điều kiện thứ hai là... Bài toán này phải có lời giải khó tin! Dĩ nhiên, tôi không nói lời giải trên giấy. Ngược lại, bài toán phải được giải ra đến những con số, nhưng lời giải ấy phải là không thể thực hiện được trong thực tế. Vậy tôi xin nhắc lại: điều kiện thi đấu là đơn giản và khó tin... Giá tôi có thể kể cho các bạn nghe một chuyện trong kinh nghiệm thực tế của tôi để làm ví dụ thì hay biết mấy. Nhưng tiếc rằng tất cả những chuyện mà tôi đã gặp không phải chỉ đơn giản mà lại còn hoàn toàn đáng tin. Sao các bạn lại cười thế? Ai cũng biết nam tước Muyn-hao-den là một con người trung thực nhất đời. Lẽ nào câu chuyện tôi cưỡi viên đạn đại bác bay vào thành của quân địch lại không phải sự thật? Lẽ nào câu chuyện tôi đã dùng dây buộc chằng cả một đàn vịt trời rồi bám theo chúng ngao du trên không trung lại cũng không phải là sự thật? Những chuyện y như thật ấy thì muốn bao nhiêu tôi cũng có. Nhưng việc của các bạn bây giờ là phải nghĩ ra một bài toán không thể thực hiện được trong thực tế cơ. Đừng nghĩ rằng bài toán như thế phải là vô nghĩa. Ai ra một đề toán vô nghĩa sẽ phải nộp phạt và bị loại khỏi cuộc thi đấu. Thế nào, ta bắt đầu chứ? Xin mời các vị dự thi lên bục.

Một cô số Sáu mũm mĩm và một chữ La-tinh N bước lên bục. Nam tước Muyn-hao-den đề nghị họ rút thăm. Cô số Sáu được nói trước. Cô ta bắt đầu kể: - Ngày xưa ở phương Đông có một vị quốc vương uy quyền hiển hách. Của cải của vua nhiều không kể xiết. Ai ai cũng khiếp sợ nhà vua. Các cận thần chẳng những răm rắp thi hành mà còn đoán trước mọi ý muốn của vua. Lúc đầu những chuyện đó khiến cho quốc vương rất hài lòng những rồi vua đâm ra chán ghét mọi thứ. Tất cả lụa là châu báu, sơn hào hải vị từ khắp nơi cung tiến cũng không làm cho vua vui lên được. Càng ngày vua càng trở nên khó tính. Các thi sĩ đã làm những vần thơ ca tụng, các ca sĩ tài hoa nhất đã hát, các vũ nữ nổi danh nhất đã múa để mua vui cho nhà vua, nhưng thảy đều uổng công vô ích. Không một cái gì có thế làm khuây khỏa nỗi phiền muộn của vị quốc vương. Nhà vua ngồi hàng giờ trong tư thất sa hoa lộng lẫy của mình, thẫn thờ nhìn đâu đâu. Cuối cùng nhà vua lâm bệnh. Hết danh y, lại đến thầy đồng cốt và thầy tướng số được vời đến bên giường vua. Nhưng bệnh tình của nhà vua vẫn không thuyên giảm. Mọi người đều hiểu rằng tính mệnh nhà vua chỉ còn kể từng ngày. Bỗng có một người hành khất tìm đến cung vua. Người ấy đi chân đất khập khiễng, quần áo rách bươm để lộ ra một thân hình gầy guộc. Người lạ mặt tự xưng là một danh y và xin được vào yết kiến quốc vương. Quân cấm vệ ngăn lại. Người ấy kêu la rất thảm thiết, một mực đòi vào. Tiếng kêu la lọt đến tai vua. Vua bèn truyền cho người ấy vào để xem mặt kẻ điên rồ đã dám đến phá rối cảnh yên tĩnh nơi cung cấm. Thế là người hành khất được dẫn vào yết kiến nhà vua. Người ấy nói: - Muôn tâu quốc vương vĩ đại, kẻ thứ dân này đến đây để xin chữa bệnh cho người. Nhà vua cau mặt lại: - Muốn chữa bệnh phải biết rõ căn nguyên bệnh. Nhưng làm sao nhà ngươi có thể biết được cái điều mà chính trẫm, trẫm cũng không biết? - Bệ hạ lầm rồi, - người hành khất nói, - căn nguyên chứng bệnh của người là phiền muộn. Phiền muộn là tai họa của những người giàu sang. Họ không có điều gì phải ước ao nữa, vì họ muốn gì là được nấy. Họ không có điều gì phải suy nghĩ vì đã có người khác nghĩ cho họ. Hạ thần xin dâng hệ hạ một thứ thuốc thần, buộc bệ hạ phải suy nghĩ. Người hành khất rút từ trong tấm áo rách mướp ra một cái bảng nhỏ trên có kẻ những ô vuông đen và trắng. Người ấy đặt cái bảng lên một chiếc án thư và bày lên đó những quân cờ cũng có màu đen và trắng, rồi nói: - Tâu bệ hạ, trò chơi này gọi là cờ vua, dùng để chữa bệnh cho các bậc vương tướng. Từ đó trở đi nhà vua chẳng còn nghĩ gì đến chuyện khác ngoài việc chơi cờ. Suốt ngày, vua ngồi lì bên bàn cờ, cùng với người hành khất đấu cờ, nghĩ hết nước cờ này đến nước cờ khác. Sức khỏe của nhà vua tốt lên trông thấy. Mỗi khi thắng cờ, nhà vua lại cảm thấy hình như bệnh tật tiêu tan hết cả. Một hôm nhà vua bảo người đã cứu sống mình. - Nhà ngươi muốn trẫm thưởng công những gì trẫm cũng bằng lòng ban thưởng hết. Nhà ngươi muốn được thưởng một núi vàng hay thích một đàn ngựa A-rập thuần giống...? - Tâu bệ hạ - người lạ mặt ngắt lời vua, - Hạ thần không cần vàng, cũng không cần ngựa. Trong nước ta có biết bao lê dân đang đói khổ! Bệ hạ hãy cấp gạo cho họ ăn, đấy là tặng phẩm quí nhất đối với kẻ hạ thần. - Sao nhà người lại bắt ta phải quan tâm đến kẻ khác! - Nhà vua nổi giận. - Ta chỉ hứa thưởng công cho nhà người mà thôi. - Nhưng hạ thần có đòi hỏi nhiều nhặn gì đâu. - Người lạ mặt mỉm cười. - Bệ hạ xem bàn cờ đây. Cả thảy có sáu mươi tư ô. Chỉ xin bệ hạ bỏ vào ô thứ nhất một hạt thóc, ô thứ hai hai hạt thóc, ô thứ ba bốn hạt, ô thứ tư tám hạt. Cứ mỗi ô tiếp theo sau lại gấp đôi số hạt ở ô trước như thế cho đến ô cuối cùng. Hạ thần chỉ xin có thế. - Có thế thôi ư? - Nhà vua thở phào nhẹ nhõm. - Nhà ngươi yêu cầu ít quá! Như trẫm thì trẫm phải đòi nhiều hơn. Nhà vua truyền mang thóc đến và tự tay bỏ thóc vào từng ô. Ô thứ nhất vua bỏ một hạt, ô thứ hai hai hạt ô thứ ba bốn hạt... Đến ô thứ bảy đã không đủ chỗ bỏ sáu mươi tư hạt. Người lạ mặt nói. - Không sao! Bỏ thóc vào bao cũng được. Nhưng nhà vua đếm mãi cũng chán. Vua bèn gọi quân hầu đến giúp. Sáu mươi tư, một trăm hai mươi tám, hai trăm năm mươi sáu, năm trăm mười hai, một nghìn hai mươi bốn... Nhưng thế mới đến được ô thứ mười một! Trời tối rồi. Người ta phải thắp nến lên. Quân hầu mệt lả. Đến ô thứ mười bảy họ phải đếm tới sáu vạn năm nghìn năm trăm ba mươi sáu hạt. Nhưng đến đây thì chúng đếm nhầm lẫn cả. Mặc dù đã khuya lắm nhà vua cũng truyền đi gọi các nhà thông thái tới. Bây giờ nhà vua không còn tươi tỉnh nữa: trông vua hốc hác hẳn đi, mặt mày tái nhợt... Một ngày, rồi vài ngày, rồi nhiều ngày nữa trôi qua, các nhà thông thái vẫn cứ đếm hoài, đếm mãi... Họ dù mệt lả mà ô cuối cùng vẫn còn xa lắc. Quân hầu vẫn cứ kìn kìn chở thóc đến. Nhưng rồi viên quan giữ kho lương hớt hải chạy đến tâu trình rằng các kho lương đều đã cạn sạch, không còn một hạt thóc. Nhà vua cả giận thét mắng người hành khất. - Quân khốn kiếp! Nhà người đã cướp hết thóc của ta! Người hành khất bèn trả lời: - Hạ thần xin bệ hạ cấp gạo cho những người nghèo khổ nhưng bệ hạ không ưng. Hạ thần đành thay đổi cách thỉnh cầu. Bệ hạ tưởng hạ thần khờ dại. Xin bệ hạ hãy thử tính xem phải bỏ bao nhiêu hạt thóc vào ô thứ sáu mươi tư ở cuối cùng thì bệ hạ khắc biết ai là người khờ dại. Bệ hạ cho gặt lúa khắp các cánh đồng trong thiên hạ cũng chưa đủ trả nợ cho hạ thần đâu. - Chà chà! - Tên vua tức điên lên, quát - Rồi mi khắc biết ta có cách nào trả nợ mi. Quân bay! Chém đầu nó ngay lập tức! Chính nghĩa của bọn vua chúa là như thế đấy! - Số Sáu kết luận như vậy rồi nói thêm. - Bây giờ tôi xin các vị xác nhận cho rằng bài toán này rất đơn giản nhưng thực tế lại không thực hiện được. Số hạt thóc tăng lên theo qui tắc: 1, 2, 4, 8, 16, 32 v.v... Cứ số sau lại lớn gấp đôi số trước. Chuỗi số như vậy gọi là một cấp số nhân. Xin các bạn đừng lầm nó với cấp số cộng. Trong cấp số cộng, mỗi số sau lớn hơn số trước nó một lượng như nhau, lượng ấy gọi là công sai của cấp số cộng... Còn trong cấp số nhân mỗi số sau lớn hơn số trước một số lần như nhau, số này gọi là công bội của cấp số nhân. Trong bài toán trên công bội bằng hai. Nếu muốn ta có thể viết cấp số này như sau:

2⁰, 2¹, 2², 2³, 2⁴, 2⁵... Chẳng khó khăn gì mà không đoán được ở ô thứ sáu mươi tư phải bỏ 2⁶³, tức là hai lũy thừa sáu mươi ba hạt, vì ở ô thứ nhất phải bỏ 2⁰, tức là hai lũy thừa không hạt, hay một hạt. Nếu các bạn thử tính xem hai lũy thừa sáu mươi ba là bao nhiêu thì các bạn sẽ phải rợn tóc gáy. Số lượng thóc khổng lồ ấy, tên vua độc ác kia không bao giờ có thể kiếm đủ. Ngay chỉ đếm thôi, hắn ta cũng không tài nào đếm xuể. Vì con số ấy là.

9 223 372 036 854 775 808. tức là chín tỉ tỉ, hai trăm hai mươi ba triệu tỉ, ba trăm bảy mươi hai nghìn tỉ, ba mươi sáu tỉ, tám trăm năm mươi tư triệu, bảy trăm bảy mươi lăm nghìn, tám trăm linh tám hạt... Ghê chưa! Ta thử tính xem số thóc ấy là bao nhiêu ki-lô-gam nếu trung bình mỗi hạt thóc nặng 0,0182 gam. Các bạn có biết là bao nhiêu không? Hơn một trăm sáu mươi bảy nghìn tỉ ki-lô-gam! Liệu đã đủ chứng minh rằng bài toán của tôi tuy đơn giản nhưng thực tế lại không thực hiện được chưa? Số Sáu nghiêng mình chào mọi người và ngồi xuống. Cử tọa vỗ tay hoan hô hồi lâu. Tiếp đó chữ La-tinh N đứng lên. Cô ta nói: - Vừa rồi chị Số Sáu kính mến đã giới thiệu với chúng ta một cấp số nhân trong đó các số hạng tăng lên không ngừng. Cấp số này gọi là cấp số tiến. Bây giờ tôi muốn các bạn lưu ý đồng thời hai cấp số nhân: một cấp số tiến và một cấp số lùi. Tôi xin đưa ra một ví dụ. Bài toán của tôi cũng đơn giản như bài toán trước và cũng không thể thực hiện được. Chị bạn Số Sáu vừa kể cho các bạn nghe câu chuyện cổ tích rất hay về người phát minh ra bàn cờ vua và tên vua tàn ác. Bây giờ, cho phép tôi được nêu một bài toán cũng có liên quan với bàn cờ. Chữ N rút trong túi ra một chiếc khăn tay mỏng và giơ lên cho cử tọa xem. Trên chiếc khăn có vẽ sáu mươi tư hình vuông đen trắng giống như trên bàn cờ. Rồi chữ N nói tiếp: - Ta sẽ coi chiếc khăn này như một bàn cờ. Các bạn chú ý rằng bề dày của chiếc khăn là 0,1 mi-li-mét, tức là một phần mười mi-li-mét. Bây giờ tôi gấp chiếc khăn này làm đôi, bề dày của nó sẽ tăng lên gấp đôi. Gấp một lần nữa, bề dày chiếc khăn sẽ tăng gấp bốn so với lúc đầu, nhưng diện tích thì giảm bốn lần. Xin mời bạn thử gấp chiếc khăn như thế 64 lần. - Nói xong chữ N tung chiếc khăn xuống phía người xem. Một người bắt lấy chiếc khăn và bắt đầu gấp: một lần, hai lần, ba lần.... - Xong! Bây giờ chiếc khăn được gấp chỉ còn một ô. Diện tích của khăn giảm đi sáu mươi tư lần. - Bạn chưa hiểu ý tôi, - chữ N phản đối vị khán giả đang dương dương tự đắc về kết quả của mình. - Tôi yêu cầu gấp đôi chiếc khăn 64 lần chứ không phải thu nhỏ diện tích chiếc khăn xuống 64 lần. Hai chuyện đó khác hẳn nhau. Ví thử bạn thực hiện được điều tôi yêu cầu thì bề dày của chiếc khăn sẽ lớn đến nỗi nó vượt qua đỉnh núi, vươn qua mặt trời và đụng vào một ngôi sao xa tít nào đó. - Phải chứng minh chứ! - cả phòng nhao nhao lên tiếng. Chữ N bèn lên bảng giải bài toán: - Chẳng lẽ các bạn không biết rằng tôi đã lặp lại gần giống như bài toán trước ư? Mỗi lần gấp, bề dày của chiếc khăn tăng lên gấp đôi, tức là tăng theo luật cấp số nhân: 2, 4, 8, 16, 32, 64, v.v... Có điều là sau lần gấp thứ sáu mươi tư thì bề dày của chiếc khăn tăng lên 2⁶⁴ lần chứ không phải 2⁶³ lần như trước. Điều này cũng dễ hiểu thôi: chẳng là cấp số này bắt đầu từ 2¹ tức là hai lũy thừa một chứ không phải từ 2⁰ là hai lũy thừa không. Bề dày của chiếc khăn trải rộng là 0,1 mi-li-mét. Muốn tính bề dày của chiếc khăn đã gấp, phải nhân 0,1 với 2⁶⁴. Ta được: 1 844 674 407 371 ki-lô-mét, tức là một nghìn tám trăm bốn mươi tư tỉ, sáu trăm bảy mươi tư triệu, bốn trăm linh bảy nghìn ba trăm bảy mươi mốt ki-lô-mét. - Thế mà khoảng cách từ trái đất đến mặt trời chỉ ngót nghét một trăm năm mươi triệu ki-lô-mét thôi! - Thiết tưởng tôi cũng đã đạt điều kiện thi đấu: bài toán phải đơn giản và thực tế không thể thực hiện được, phải thế không các bạn?

- Thế còn cái cấp số lùi mà bạn hứa lúc nãy đâu? - Xê-va hỏi. - Xin có ngay, - chữ N đáp. - Chẳng là, trong khi bề dày của khăn tăng lên thì diện tích của nó giảm xuống  lần v.v... Đó chính là một cấp số nhân lùi. Sau sáu mươi tư lần gấp diện tích chiếc khăn sẽ giảm xuống hai lũy thừa sáu mươi tư lần so với diện tích lúc đầu. Và giả dụ ta cứ tiếp tục gấp đôi mãi chiếc khăn thì diện tích của nó sẽ cứ nhỏ dần, nhỏ dần đến sát số không còn bề dày (hay bề cao) của nó thì cứ tăng dần mãi đến những người khổng lồ ở nước Vô tận. Các bạn đồng ý chứ? Thôi, xin cảm ơn các bạn đã chú ý theo dõi câu chuyện của tôi. Cả phòng lại nhộn lên, người ta vỗ tay rần rần. Nam tước Muyn-hao-den lắc chuông giữ trật tự và tuyên bố: - Hội đồng chấm thi ngợi khen cả hai bài toán và quyết định tặng giải nhất cho cả hai vị. Ông trao cho hai người được giải mỗi người một bàn cờ với những quân cờ bằng ngà voi chạm trổ rất đẹp. Ông nói thêm: - Cả hai câu chuyện đều làm cho tôi thích thú và tôi dự định sẽ đi thăm nước Vô tận trong chuyến du lịch sắp tới. Rồi sau đó, chưa biết chừng tôi sẽ đến cả nước Số Không nữa! Nam tước cúi đầu chào cử tọa. Cuộc thi đấu thế là kết thúc. Bọn mình cũng về đi ngủ. Ngày mai bọn mình sẽ đến công trường xây dựng đây! Nhưng có hề gì, hãy cứ nghỉ ngơi cho thoải mái đã. Ô-lếch. Chú thích: [1] Nam tước Muyn-hao-den là nhân vật chính trong một cuốn truyện của nhà văn Đức E. Ra-xpê, được trẻ em nhiều nước châu Âu ưa thích. N.D.