Chào các cậu! Thế là các cậu đã ra bài cho bọn mình làm rồi đấy! Hồi này bọn mình chỉ có mỗi một việc là chơi cờ vua. Đứa nào cũng tự mình làm lấy một bàn cờ và quân cờ. Suốt ngày, từ sáng đến tối bọn mình cứ lăn lóc với bàn cờ, khi thì hai người đấu với nhau, khi lại chơi một mình. Thế mà mình cũng phát hiện ra được một điều mới cơ đấy! Chỉ nhìn bàn cờ cũng đủ thấy ngay nước Tí Hon và nước An-giép là bầu bạn. Chẳng là mỗi ô bàn cờ đều có kí hiệu riêng, vừa bằng chữ vừa bằng số mà lị.
Ví dụ: e5, a4, d8, điều đó chẳng lẽ không phải là một bằng chứng của tình bạn sao?
Bọn mình cũng quyết định thử lại xem bài toán đếm hạt thóc vào các ô có đúng hay không. Dĩ nhiên chẳng lấy đâu ra thóc. Bọn mình chỉ viết lên mỗi ô số hạt cần bỏ vào: 1, 2, 4, 8, 32, 64, 128 v.v... Viết hết hàng thứ nhất, bọn mình mới phát hiện ra rằng có đứa viết theo thứ tự từ trái sang phải, lại có đứa viết từ phải sang trái.
Thế là đâm ra cãi nhau xem đứa nào viết đúng. Bọn mình bèn đặt hai bàn cờ, cái nọ trên cái kia. Một bàn cờ thì viết các số ở hàng dưới từ trái sang phải, còn bàn cờ kia thì viết ở hàng trên, từ phải sang trái, những số cách đều mép bàn cờ nằm đối diện với nhau. Mình làm đúng như nhà ảo thuật mà Ta-nhi-a đã viết thư kể cho mình nghe ấy.
Mình thử cộng mỗi cặp số lại nhưng thấy tổng số không bằng nhau. Cũng dễ hiểu thôi vì đây là cấp số nhân chứ không phải cấp số cộng! Mình bèn đem nhân chúng với nhau thì phát hiện được một điều thứ hai là: tất cả các tích số đều bằng nhau chằn chặn:
1 x 128 = 128
2 x 64 = 128
4 x 32 = 128
8 x 16 = 128
A! Bây giờ mình không còn là thằng Số Không như trước nữa đâu nhé. Thật ra cũng chẳng ai biết đến mình. Mà mọi điều đều là nhờ những bức thư của các cậu cả thôi! Tính tiếp số hạt thì đứa nào cũng chán phè rồi: ai rỗi hơi mà viết những con số lớn đến phát khiếp như thế? Nhưng có một thằng Số Không đặt một câu hỏi khá lí thú: nếu ở ô thứ sáu mươi tư phải bỏ trên chín tỉ tỉ hạt, thì hỏi khi bỏ đủ số hạt trên tất cả các ô ta sẽ có cả thảy bao nhiêu hạt trên bàn cờ?
Một thằng Số Không khác nói:
- Có thế mà phải hỏi! Trên bàn cờ sẽ có cả thảy hai lũy thừa sáu mươi ba hạt. Tức là hơn chín tỉ tỉ hạt ấy chứ còn gì nữa.
Một thằng Số Không thứ ba phản đối:
- Đâu phải thế! Chín tỉ tỉ chỉ là số hạt trong ô cuối cùng thôi, còn trên tất cả bàn cờ thì nhiều hơn gấp mấy lần ấy chứ.
Bọn chúng cãi nhau ỏm tỏi. Mình bèn xem lại cấp số nhân viết ở hàng thứ nhất trên bàn cờ: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128.
Từ ngày biết tam giác Pa-xcan, nói chung mình rất chú ý xem xét các số. Mình đi tìm qui luật giữa các số mà lị! Mình thử cộng số hạng thứ nhất với số hạng thứ hai: 1 + 2 = 3. Tổng của chúng nhỏ hơn số hạng thứ ba - tức là bốn - một đơn vị. Mình lại cộng 1 + 2 + 4. Được bảy. Tổng này lại nhỏ hơn số hạng thứ tư - tức là tám - một đơn vị. Rồi cộng tiếp 1 + 2 + 4 + 8 = 15 lại nhỏ hơn 16 một đơn vị. Thành ra bao giờ tổng của tất cả các số hạng trước trong một cấp số nhân cũng nhỏ hơn số hạng sau một đơn vị. Và như vậy có nghĩa là ở ô cuối cùng, ô thứ sáu mươi tư, có bao nhiên hạt thì trong tất cả sáu mươi ba ô kia của bàn cờ sẽ có bấy nhiêu hạt trừ đi một hạt. Như thế là trên bàn cờ, tổng số hạt sẽ là gấp đôi số hạt ở ô cuối cùng trừ đi một hạt.
2.2
63 - 1
hay bằng
2
64 - 1
thì cũng thế.
Vậy là mình lại có một phát hiện thứ ba. Nhờ phát hiện ra điều này mình cũng chẳng cần phải viết tất cả các số hạng của cấp số ra giấy, cũng chẳng cần nhân hai với con số chín tỉ tỉ có cả một cái đuôi dài lê thê.
Chà, cái môn đại số học thần tình thật!
Số Không - Người chơi cờ
